Сферичний резонатор та власні значення (власні моди)

Порожнину Земля–іоносфера можна розуміти як сферичний резонатор: хвилі з довжиною хвилі, порівнянною з периметром Землі (\approx 40\,000 км), складаються по периметру в стояче коливання. Резонанс настає, коли ціле число довжин хвиль „обходить“ планету — звідси дискретний спектр власних мод (eigenmodes), пронумерованих n = 1, 2, 3, \dots

Математично кутове число n випливає з вимоги, щоб розв'язок рівняння Лежандра був регулярним на всій кулі; допустимі лише цілі значення n, яким відповідають поліноми Лежандра P_n(\cos\theta). Мода n має на сфері n вузлових кіл, тож n=1 — це найнижча (дипольна) конфігурація, n=2 — квадрупольна тощо. Кожна мода в ідеальній (сферично симетричній) порожнині (2n+1)-кратно вироджена за азимутальним числом m — це виродження в реальній, неоднорідній порожнині знімається й веде до розщеплення мод (див. #24).

Власне значення визначає резонансну частоту f_n даної моди. Для ідеальної порожнини воно має замкнену форму (див. #17), для реальної порожнини його отримують чисельно.