Рівняння Максвелла в порожнинному резонаторі

Резонанс Шумана — це власне електромагнітне коливання сферичної порожнини між земною поверхнею та нижньою іоносферою. Поля виводять із рівнянь Максвелла, записаних на сферичній оболонці з внутрішнім радіусом a (поверхня Землі) та провідною верхньою межею (іоносфера) Sentman 1995Nickolaenko Hayakawa 2002.

У порожнині домінують TM-моди (transverse magnetic): вони мають вертикальне (радіальне) електричне поле E_r та горизонтальне магнітне поле; складова E у напрямку поширення присутня, тоді як H суто поперечне. Це відповідає фізиці ELF-джерела — блискавок як вертикальних струмових каналів — і геометрії тонкої порожнини, товщина якої (десятки км) набагато менша за довжину хвилі (тисячі км) та периметр Землі.

З безджерельних рівнянь Максвелла для гармонічної залежності e^{-i\omega t} отримують хвильове (Гельмгольцове) рівняння \nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0 з k = \omega/c. Завдяки сферичній симетрії розв'язок розділяється на радіальну та кутову частини; кутова частина веде до сферичних гармонік Y_n^m(\theta,\varphi), відповідно функцій Лежандра P_n(\cos\theta). Індекси n нумерують власні моди порожнини.